Sở Giáo dục và đào tạo KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN QUỐC HỌC
Thừa Thiên Huế Môn: TOÁN - Năm học 2007-2008
Đề chính thức Thời gian làm bài: 150 phút


Bài 1: (2 điểm)
Giải hệ phương trình:

Bài 2: (2 điểm)
Chứng minh rằng phương trình:
luôn có 4 nghiệm phân biệt
với mọi giá trị của
.
Tìm giá trị
sao cho
.

Bài 3: (3 điểm)
Cho hình vuông cố định PQRS. Xét một điểm M thay đổi ở trên cạnh PQ (M
P, M
Q). Đường thẳng RM cắt đường chéo QS của hình vuông PQRS tại E. Đường tròn ngoại tiếp tam giác RMQ cắt đường thẳng QS tại F (F
Q). Đường thẳng RF cắt cạnh SP của hình vuông PQRS tại N.
Chứng tỏ rằng:
.
Chứng minh rằng khi M thay đổi trên cạnh PQ của hình vuông PQRS thì đường tròn ngoại tiếp tam giác MEF luôn đi qua một điểm cố định.
Chứng minh rằng: MN = MQ + NS.

Bài 4: (2 điểm)
Tìm tất cả các cặp số nguyên
sao cho đẳng thức sau đúng:


Bài 5: (1 điểm)
Chứng minh với mọi số thực
luôn có:



Hết






 Sở Giáo dục và đào tạo KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN QUỐC HỌC
Thừa Thiên Huế Môn: TOÁN - Năm học 2007-2008

ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM

BÀI
 NỘI DUNG
Điểm

B.1



(2đ)


Ta có :
.
0,25


Hay
.
0,25


+ Nếu
, thay
vào phương trình đầu thì:

0,25


Giải ra :

0,25


Trường hợp này hệ có hai nghiệm :
;

0,25


+ Nếu
, thay
vào phương trình đầu thì:
.

0,25


Giải ra:
.
0,25


Trường hợp này hệ có hai nghiệm:

;


0,25

B.2

(1)
(2đ)


Đặt :
, ta có :
(2) (
) .
0,25


Ta chứng tỏ (2) luôn có hai nghiệm :
.
0,25



với mọi
.Vậy (2) luôn có hai nghiệm phân biệt
.
0,25



với mọi
.
0,25



với mọi
.
0,25


Do đó phương trình (1) có 4 nghiệm :
,
,
,
.







0,25



.
0,25




0,25



B.3

3 đ

Câu3.1

(1đ)












Hình vẽ đúng

0,25



Đường tròn ngoại tiếp tam giác RMQ có đường kính RM .

(3)



0,25



F nằm trong đọan ES.


Do đó :
(4)
0,25




Từ (3) và (4) :
.

0,25

Câu3.2

(1đ)


Ta chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác MEF luôn qua điểm cố định P.

0,25


Ta có :
. Do đó N, S, R, E ở trên đường tròn đường kính NR.

0,25


Ta cũng có:
. Do đó N, F, E, M ở trên đường tròn đường kính MN.

0,25


Do
nên đường tròn ngoại tiếp tam giác MEF đi qua điểm P.

0,25

Câu3.3

(1đ)


Tam giác RMN có hai đường cao MF và NE. Gọi H là giao điểm của MF và NE, ta có RH là đường cao thứ ba. RH vuông góc với MN tại D. Do đó :
.
0,25


Ta có:
(do M, N, F, E ở trên một đường tròn);
(do M, F, R, Q ở trên một đường tròn). Suy ra:
. D nằm trong đọan MN.
0,25


Hai tam giác vuông DRM và QRM bằng nhau, suy ra : MQ = MD
0,25


Tương tự : Hai tam giác vuông DRN và SRN bằng nhau