Website: tailieumontoan.com

PHÒNG GD&ĐT DIỄN
CHÂU
LIÊN TRƯỜNG THCS

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC 2023-2024
MÔN THI: TOÁN 7
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian
giao đề)

Câu 1. (4,5 điểm)
Tính giá trị biểu thức:
a)

;

b)

c)
Câu 2. (3,0 điểm)
a) Tìm x biết:
b) Tìm hai số hữu tỉ
Câu 3. (4,5 điểm)

(

)

biết:

a) Chứng minh rằng: nếu p và p2+2 là các số nguyên tố thì p3+2 cũng
là số nguyên tố. .

b) Cho

là một đa thức có hệ số nguyên thỏa mãn

. Chứng minh

không thể là số chính phương.
c) Lớp 7A có 52 học sinh chia làm ba tổ. Nếu tổ một bớt đi 1 học sinh, tổ hai bớt đi 2
học sinh, tổ ba thêm vào 3 học sinh thì số học sinh tổ một, tổ hai, tổ ba tỉ lệ nghịch
với 3;4;2. Tìm số học sinh của mỗi tổ.
Câu 4.(7,0 điểm)
1. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC.
Lấy điểm D trên đoạn thẳng AB (D khác A và B), đường thẳng vuông góc
với MD tại M cắt AC tại E.
a) Chứng minh: MD = ME.
b) Trên tia đối của tia CA lấy điểm K sao cho CK = BD, DK cắt BC tại
I, đường vuông góc với DK tại I cắt AM tại S. Chứng minh: I là trung điểm
của DK và SC vuông góc với AK.
c) Chứng minh: MD + ME AD + AE.
2. Một ngôi nhà có các kích thước như
hình vẽ.
a) Tính thể tích phần không gian được
giới hạn bởi ngôi nhà.
b) Hỏi phải dùng bao nhiêu lít sơn để
sơn phủ được mặt ngoài ngôi nhà? Biết rằng
1 lít sơn bao phủ được 8 m2 tường (không
sơn cửa) và tổng diện tích các cửa là 25 m2.
Câu 5. (1,0 điểm)

Website: tailieumontoan.com

và

Cho các số không âm x, y, z thoả mãn:

Tính giá trị lớn nhất của biểu thức:
--------------HẾT--------------

.

Website: tailieumontoan.com

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH TRƯỜNG MÔN TOÁN
LỚP 7
NĂM HỌC 2023-2024
( Hướng dẫn chấm này có 04 trang )
Câ
Ý
u
1
a
4,5 1,5
đ

Nội dung

Điể
m
1,5

a)
0,75
0,75

b
1,5

1,5
b)

0.5
0,5
0,5

c
1,5

1,5
c)
0,5

0,5
0.5
2
a
3,0 1,5
đ

2. a) Tìm x biết:

;

1,5
0.5

0,5

Website: tailieumontoan.com

0,5
1,5

Vậy
b
1,5 b) Tìm hai số hữu tỉ

biết:

0,5
Ta có :

. Nên

và

Ta có
0,5

Vậy
0,5

Ta có
3
a a) Chứng minh rằng: nếu p và p2+2 là các số nguyên
4,5 1,5 tố thì p3+2 cũng là số nguyên tố.
đ
Ta nhận xét rằng mọi số nguyên tố lớn hơn 3 thì chia
cho 3 đều có dạng

1,5

0,5

*

p=3k+1 hoặc p=3k+2 ( k  N )
Với p=3k+1 thì p2+2=9k2+6k+3 chia hết cho 3.
Với p=3k+2 thì p2+2=9k2-6k+6 chia hết cho 3
Vì p là nguyên tố nên p 2 khi đó trong cả 2 trường
hợp trên thì p2+2 đều lớn hơn 3 và chia hết cho 3. Tức
là p2+2 là hợp số
=> p2+2 chỉ là nguyên tố khi p=3 (khi đó
p2+2=11 là số nguyên tố)
=> p3+2=27+2=29 là số nguyên tố
Vậy nếu p và p2+2 là các số nguyên tố thì p3+2 cũng
là số nguyên tố.
b b) Cho
1,5
phương.

là một đa thức có hệ số nguyên thỏa mãn
. Chứng minh
không thể là số chính

0,5

0,5

1.0

Website: tailieumontoan.com

0.5
Do

nên đa thức

với

có dạng

là một đa thức có hệ số nguyên

Khi đó ta có :

.
0,25

.
Vì

dư

và
chia dư
0,25

chia dư
Do đó

không thể là số chính phương

b
Lớp 7A có 52 học sinh chia làm ba tổ. Nếu tổ một
1,5 bớt đi 1 học sinh, tổ hai bớt đi 2 học sinh, tổ ba thêm
vào 3 học sinh thì số học sinh tổ một, tổ hai, tổ ba tỉ lệ
nghịch với 3;4;2. Tìm số học sinh của mỗi tổ.
Gọi số học sinh tổ 1; tổ 2; tổ 3 lần lượt là a, b, c (học
sinh; a, b, c

N*; a, b, c < 52)

2.0

0,25

Vì lớp 7A có 52 học sinh được chia làm 3 tổ nên ta có
a + b + c = 52

(1)

0,5

số học sinh tổ 1; tổ 2; tổ 3 sau khi thêm bớt lần lượt là
a - 1, b - 2, c + 3 ( học sinh)
Vì tổ một bớt đi 1 học sinh, tổ hai bớt đi 2 học sinh, tổ
ba thêm vào 3 học sinh thì số học sinh tổ một, hai, ba 0,25
tỉ lệ nghịch với 3;4;2 nên ta có 3(a – 1) = 4(b – 2) =
2(c + 3)
Từ (1) và (2) áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta

0,25

có
=
a - 1= 4.4 = 16

a = 17

0,5

Website: tailieumontoan.com

b - 2 = 4.3 = 12

b = 14

c + 3 = 4.6 = 24

c = 21

0,25

Vậy số học sinh tổ 1; tổ 2; tổ 3 của lớp 7A lần lượt là
17; 14; 21 học sinh.
4
7,0
đ

1. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M là
trung điểm của BC. Lấy điểm D trên đoạn thẳng AB (D
khác A và B), đường thẳng vuông góc với MD tại M cắt
AC tại E.
a) Chứng minh: MD = ME.
b) Trên tia đối của tia CA lấy điểm K sao cho CK =
A I, đường vuông góc với DK tại I cắt
BD, DK cắt BC tại
AM tại S. Chứng minh: I là trung điểm của DK và SC
vuông góc với AK.
E
c) Chứng
minh: MD + ME
AD + AE.
D

6,0

Q

H

C
I
M

B

P
K
F

S

a
2

Ta có:

(MD

(AM
0.5

BC)
-c/m:
-Xét AMD và

; AM = MC
CME có:

AM = CM ;
b
2.0

ME) và

;

0,5
0,5
0,5

AMD = CME (g.c.g)
MD = ME
Hạ DP, KQ vuông góc với BC tại P và Q
Chứng minh: I là trung điểm của DK
Chứng minh:

BDP =

CKQ suy ra DP = KQ

0.5

Website: tailieumontoan.com

Chứng minh:

PID =

QIK suy ra DI = IK, hay I là

0,5

trung điểm của DK
Chứng minh: SC

AK

Chứng minh:

ABS =

ACS suy ra

Chứng minh:

SBD =

SCK suy ra

(1)
(2)

Từ (1) và (2) suy ra:
c
1,0

0,5

Mà
SC
AK
Gọi giao điểm của DM với SC là F. chứng minh
MFC

MD=MS

Từ F kẻ FH

0,5

MDB=

M là trung điểm của DF

AB tại H. Chứng minh

FAH= AFC

FH

0,5

= AC
Do

AMD =

CME

AD = CE

AD + AE = AC.

Do MD = ME nên MD + ME = 2MD = DF
Mặt khác DF

HF

DF

AC hay MD + ME

AD + AE

- Dấu “=” khi MD
AB
2. Một ngôi nhà có các
kích thước như hình vẽ.
a) Tính thể tích phần
không gian được giới hạn
bởi ngôi nhà.
b) Hỏi phải dùng bao
nhiêu lít sơn để sơn phủ
được mặt ngoài ngôi nhà?
Biết rằng 1 lít sơn bao phủ
được 8 m2 tường (không sơn cửa) và tổng diện tích các
cửa là 25 m2.

0,5

2.0

0,5
0,5
0,5
b)
Diện tích tường phải sơn: 665 – 25 = 640 m2
Số lít sơn cần mua: 640:8 = 80 lít

0,5

Website: tailieumontoan.com

5. Ta có: x + 3z = 2023 (1) và x + 2y = 2024 (2)
1,0
đ Từ (1)
0,25
Trừ vế theo vế (2) cho (1), ta được:
Khi đó:

0,25

Vì
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:

Vậy: GTLN của A bằng 2024

0,25

0,25

Lưu ý:
- Nếu học sinh không vẽ hình bài 4 hoặc vẽ sai thì không chấm bài 4.
- Nếu học sinh làm cách khác đúng thì vẫn cho điểm tương ứng với từng phần.