Đề số 1
(Đề thi của tỉnh Hải Dương năm học 1998 – 1999)

Câu I (2đ)
Giải hệ phương trình:


Câu II (2,5đ)
Cho phương trình bậc hai:
x2 – 2(m + 1)x + m2 + 3m + 2 = 0
1) Tìm các giá trị của m để phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
2) Tìm giá trị của m thoả mãn x12 + x22 = 12 (trong đó x1, x2 là hai nghiệm của phương trình).
Câu III (4,5đ)
Cho tam giác ABC vuông cân ở A, trên cạnh BC lấy điểm M. Gọi (O1) là đường tròn tâm O1 qua M và tiếp xúc với AB tại B, gọi (O2) là đường tròn tâm O2 qua M và tiếp xúc với AC tại C. Đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại D (D không trùng với A).
1) Chứng minh rằng tam giác BCD là tam giác vuông.
2) Chứng minh O1D là tiếp tuyến của (O2).
3) BO1 cắt CO2 tại E. Chứng minh 5 điểm A, B, D, E, C cùng nằm trên một đường tròn.
4) Xác định vị trí của M để O1O2 ngắn nhất.
Câu IV (1đ)
Cho 2 số dương a, b có tổng bằng 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

.

Đề số 2
(Đề thi của tỉnh Hải Dương năm học 1999 – 2000)

Câu I
Cho hàm số f(x) = x2 – x + 3.
1) Tính các giá trị của hàm số tại x =
và x = -3
2) Tìm các giá trị của x khi f(x) = 3 và f(x) = 23.
Câu II
Cho hệ phương trình :


1) Giải hệ phương trình theo tham số m.
2) Gọi nghiệm của hệ phương trình là (x, y). Tìm các giá trị của m để x + y = -1.
3) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.
Câu III
Cho tam giác ABC vuông tại B (BC > AB). Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp với cạnh AB, BC, CA lần lượt là P, Q, R.
1) Chứng minh tứ giác BPIQ là hình vuông.
2) Đường thẳng BI cắt QR tại D. Chứng minh 5 điểm P, A, R, D, I nằm trên một đường tròn.
3) Đường thẳng AI và CI kéo dài cắt BC, AB lần lượt tại E và F. Chứng minh AE. CF = 2AI. CI.
Đề số 3
(Đề thi của tỉnh Hải Dương năm học 1999 – 2000)

Câu I
1) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm (1 ; 2) và (-1 ; -4).
2) Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng trên với trục tung và trục hoành.
Câu II
Cho phương trình:
x2 – 2mx + 2m – 5 = 0.
1) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
2) Tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.
3) Gọi hai nghiệm của phương trình là x1 và x2, tìm các giá trị của m để:
x12(1 – x22) + x22(1 – x12) = -8.
Câu III
Cho tam giác đều ABC, trên cạnh BC lấy điểm E, qua E kẻ các đường thẳng song song với AB và AC chúng cắt AC tại P và cắt AB tại Q.
1) Chứng minh BP = CQ.
2) Chứng minh tứ giác ACEQ là tứ giác nội tiếp. Xác định vị trí của E trên cạnh BC để đoạn PQ ngắn nhất.
3) Gọi H là một điểm nằm trong tam giác ABC sao cho HB2 = HA2 + HC2. Tính góc AHC.

Đề số 4
(Đề thi của tỉnh Hải Dương năm học 2000 – 2001)

Câu I
Cho hàm số y = (m – 2)x + m + 3.
1) Tìm điều kiện của m để hàm số luôn nghịch biến.
2) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3.
3) Tìm m để đồ thị của hàm số trên và các đồ thị của các hàm số y = -x + 2 ; y = 2x – 1 đồng quy.
Câu II
Giải các phương trình :
1) x2 + x – 20 = 0
2)

3)
.
Câu III
Cho tam giác ABC vuông tại A nội tiếp đường tròn tâm O, kẻ đường kính AD, AH là đường cao của tam giác (H
BC).
1) Chứng minh tứ giác ABDC là hình chữ nhật.
2) Gọi M, N thứ tự là hình chiếu vuông góc của B, C trên AD. Chứng minh HM vuông góc với AC.
3) Gọi bán kính của đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác vuông ABC là r và R.
Chứng minh : r + R

.

Đề số 5
(Đề thi của tỉnh Hải Dương năm học 2000 – 2001)

Câu I
Cho phương trình:
x2 – 2(m + 1)x + 2m – 15 = 0.
1) Giải phương trình với m = 0.
2) Gọi hai nghiệm của phương trình là x1 và x2. Tìm các giá trị của m thoả mãn 5x1 + x2 = 4.
Câu II
Cho hàm số y = (m – 1)x + m + 3.
1) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 1.
2) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (1 ; -4).
3) Tìm điểm cố định mà đồ thị của hàm số luôn đi qua với mọi m.
4) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số tạo với trục tung và trục hoành một tam giác có diện tích bằng 1 (đvdt).
Câu III
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, đường phân giác trong của góc A cắt cạnh BC tại D và cắt đường tròn ngoại tiếp tại I.
1) Chứng minh OI vuông góc với BC.
2) Chứng minh BI2 = AI.DI.
3) Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên cạnh BC. Chứng minh rằng :
.
4) Chứng minh :
.
Đề số 6
(Đề thi của tỉnh Hải Dương năm học 2001 – 2002)

Câu I (3,5đ)
Giải các phương trình sau:
1) x2 – 9 = 0
2) x2 + x – 20 = 0
3) x2 – 2
x – 6 = 0.
Câu II (2,5đ)
Cho hai điểm A(1 ; 1), B(2 ; -1).
1) Viết phương trình đường thẳng AB.
2) Tìm các giá trị của m để đường thẳng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + 2 song song với đường thẳng AB đồng thời đi qua điểm C(0 ; 2).
Câu III (3đ)
Cho tam giác ABC nhọn, đường cao kẻ từ đỉnh B và đỉnh C cắt nhau tại H và cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lần lượt tại E và F.
1) Chứng minh AE = AF.
2) Chứng minh A là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác EFH.
3) Kẻ đường kính BD, chứng minh tứ giác ADCH là hình bình hành.
Câu IV (1đ)
Tìm các cặp số nguyên (x, y) thoả mãn phương trình:
.

Đề số 7
(Đề thi của tỉnh Hải Dương năm học 2001 – 2002)

Câu I (3,5đ)
Giải các phương trình sau :
1) 2(x – 1) – 3 = 5x + 4
2) 3x – x2 = 0
3)
.
Câu II (2,5đ)
Cho hàm số y = -2x2 có đồ thị là (P).
1) Các điểm A(2 ; -8), B(-3 ; 18), C(
 ; -4) có thuộc (P) không ?
2) Xác định các giá trị của m để điểm D có toạ độ (m; m – 3) thuộc đồ thị (P).
Câu III (3đ)
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Đường tròn đường kính AH cắt cạnh AB tại M và cắt cạnh AC tại N.
1) Chứng minh rằng MN là đường kính của đường tròn đường kính AH.
2) Chứng minh tứ giác BMNC nội tiếp.
3) Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với MN cắt cạnh BC tại I. Chứng minh: BI = IC.
Câu IV (1đ)
Chứng minh rằng
là nghiệm của phương trình: x2 + 6x + 7 =
, từ đó phân tích đa thức x3 + 6x2 + 7x – 2 thành nhân tử.

Đề số 8
(Đề thi của tỉnh Hải Dương năm học 2002 – 2003)

Câu I (3đ)
Giải các phương trình:
1) 4x2 – 1 = 0
2)

3)
.
Câu II (2,5đ)
Cho hàm số y =
.
1) Vẽ đồ thị của hàm số.
2) Gọi A và B là hai điểm trên đồ thị của hàm số có hoành độ lần lượt là 1 và -2. Viết phương trình đường thẳng AB.
3) Đường thẳng y = x + m – 2 cắt đồ thị trên tại hai điểm phân biệt, gọi x1 và x2 là hoành độ hai giao điểm ấy. Tìm m để x12 + x22 + 20 = x12x22.
Câu III (3,5đ)
Cho tam giác ABC vuông tại C, O là trung điểm của AB và D là điểm bất kỳ trên cạnh AB (D không trùng với A, O, B). Gọi I và J thứ tự là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác ACD và BCD.
1) Chứng minh OI song song với BC.
2) Chứng minh 4 điểm I, J, O, D nằm trên một đường tròn.
3) Chứng minh rằng CD là tia phân giác của góc BAC khi và chỉ khi OI = OJ.
Câu IV (1đ)
Tìm số nguyên lớn nhất không vượt quá
.

Đề số 9
(Đề thi của tỉnh Hải Dương năm học 2002 – 2003)

Câu I (2,5đ)
Cho hàm số y = (2m – 1)x + m – 3.
1) Tìm m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (2; 5)
2) Chứng minh rằng đồ thị của hàm số luôn đi qua một điểm cố định với mọi m. Tìm điểm cố định ấy.
3) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x =
.
Câu II (3đ)
Cho phương trình : x2 – 6x + 1 = 0, gọi x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình. Không giải phương trình, hãy tính:
1) x12 + x22
2)

3)
.
Câu III (3,5đ)
Cho đường tròn tâm O và M là một điểm nằm ở bên ngoài đường tròn. Qua M kẻ tiếp tuyến MP, MQ (P và Q là tiếp điểm) và cát tuyến MAB.
1) Gọi I là trung điểm của AB. Chứng minh bốn điểm P, Q, O, I nằm trên một đường tròn.
2) PQ cắt AB tại E. Chứng minh: MP2 = ME.MI.
3) Giả sử PB = b và A là trung điểm của MB. Tính PA.
Câu IV (1đ)
Xác định các số hữu tỉ m, n, p sao cho (x + m)(x2 + nx + p) = x3 – 10x – 12.

Đề số 10
(Đề thi của tỉnh Hải Dương năm học 2003 – 2004)

Câu I (1,5đ)
Tính giá trị của biểu thức:
A =

Câu II (2đ)
Cho hàm số y = f(x) =
.
1) Với giá trị nào của x hàm số trên nhận các giá trị : 0 ; -8 ; -
; 2.
2) A và B là hai điểm trên đồ thị hàm số có hoành độ lần lượt là -2 và 1. Viết phương trình đường thẳng đi qua A và B.
Câu III (2đ)
Cho hệ phương trình:


1) Giải hệ phương trình khi thay m = -1.
2) Gọi nghiệm của hệ phương trình là (x, y). Tìm m để x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhấtl.
Câu IV (3,5đ)
Cho hình vuông ABCD, M là một điểm trên đường chéo BD, gọi H, I và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên AB, BC và AD.
1) Chứng minh :
MIC =
HMK .
2) Chứng minh CM vuông góc với HK.
3) Xác định vị trí của M để diện tích của tam giác CHK đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu V (1đ)
Chứng minh rằng :

là số vô tỉ với mọi số tự nhiên m.

Đề số 11
(Đề thi của tỉnh Hải Dương năm học 2003 – 2004)

Câu I (2đ)
Cho hàm số y = f(x) =
.
1) Hãy tính f(2), f(-3), f(-
), f(
).
2) Các điểm A
, B
, C
, D
có thuộc đồ thị hàm số không ?
Câu II (2,5đ)
Giải các phương trình sau :
1)

2) (2x – 1)(x + 4) = (x + 1)(x – 4)
Câu III (1đ)
Cho phương trình: 2x2 – 5x + 1 = 0.
Tính
(với x1, x2 là hai nghiệm của phương trình).
Câu IV (3,5đ)
Cho hai đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại A và B, tiếp tuyến chung của hai đường tròn về phía nửa mặt phẳng bờ O1O2 chứa B, có tiếp điểm với (O1) và (O2) thứ tự là E và F. Qua A kẻ cát tuyến song song với EF cắt (O1) và (O2)