PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO
TẠO THÀNH PHỐ VINH

KỲ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC 2022- 2023

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Môn thi: Toán lớp 7
Thời gian: 120 phút ( không kể thời gian giao đề)

(Đề thi gồm có 01 trang)
Câu 1. (4,5 điểm)
1. Tính giá trị biểu thức: a,
b,
2. Cho

và

. Tính tỷ số

Câu 2. (4,0 điểm)
a, Tìm
b, Tìm

biết
biết:

c, Cho
Câu 3. (3,5 điểm)

và
khác 0). Chứng minh rằng:

(

a, Cho
là các số nguyên dương thỏa mãn
. Tìm giá trị nhỏ nhất của .
b, Một bể nước dạng hình hộp chữ nhật có chiều dài, chiều rộng và chiều cao tỉ lệ với
1: 2: 4. Tổng diện tích sáu mặt của bể nước là 112m2. Tính thể tích bể nước.
c, Tìm các số nguyên dương
thỏa mãn:
và
Câu 4. (2,0 điểm)
Một bể bơi được xây dựng thành hai khu vực với độ sâu khác nhau cho trẻ em và người lớn và
các kích thước của lòng bể được cho như hình vẽ.
25 m
10 m

3m

1,4 m
10 m
8m

Hỏi sau bao lâu bể bơi được bơm đầy nước, biết cứ mỗi phút máy bơm được vào bể 500 lít
nước.
Câu 5. (6,0 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn có AB < AC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AB =
AD. Qua B kẻ đường thẳng song song với CD cắt đường thẳng AC tại E.
a, Chứng minh rằng BE = CD; ED =BC
b, Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của BE, CD. Chứng minh rằng A là trung điểm của PQ
c, Gọi M là điểm bất kỳ nằm trong tam giác ABC. Xác định vị trí của M để biểu thức
MA.BC +MB.AC +MC.AB đạt giá trị nhỏ nhất.
……………….…. Hết …………………

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO
TẠO THÀNH PHỐ VINH

KỲ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC 2022- 2023
Hướng dẫn chấm môn Toán 7

(Hướng dẫn chấm gồm có 04 trang)
Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
Đáp án

Câu

Điểm
0,5

Câu 1a
(1,5 đ)

0,5

0,5

0,5
Câu 1b
(1,5 đ)

0,5

0,5

0,5

Câu 1c
(1,5 đ)

Câu 2a
(1,5 đ)

0,5

Do đó:

0,5
0,5

Trường hợp 1:

0,5

Suy ra:
Trường hợp 2:
0,5
Suy ra:
ì x nguyên nên không tồn tại x thỏa mãn bài ra
V

Câu 2b
(1,5 đ)

0,5

Từ
suy ra
.
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

Khi đó:

;

;

Từ

suy ra

;

Từ

suy ra

.

0,5
.

Do đó:
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
Câu 2c
(1 đ)

0,5

0,25

0,25

Suy ra
Hay

0,5

Vậy
Từ
suy ra
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
Câu 3a
(1 đ)

Khi đó:
Hay
Để x đạt GTNN khi
đạt GTNN.
Mặt khác
là các số nguyên dương nên GTNN của y là 1.
Khi đó GTNN của x là 2021.

0,5

0,25
0,25

Gọi chiều dài, chiều rộng và chiều cao của bể nước lần lượt là
(m). Điều kiện:
.

0,25

Khi đó:
Tổng diện tích sáu mặt của bể nước là:

(m2)

Theo đề ra, ta có:
Hay
Câu 3b
(1,5 đ)

Từ
suy ra
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

0,25

0,5

Khi đó:
0,25
(Vì
)
Vậy thể tích của bể nước là:
(m3)
Với a, b, c là các số nguyên dương, ta có:

0,25
0,25

Do đó:
Câu 3c
(1 đ)

Câu 4
(2 đ)

0,25

Hay
Ư
.
Vì a là số nguyên dương nên
.
Do đó:
Khi đó:
.
Vậy
,
,
( thử lại t/m)
25 m

B
B'

A
A'

M
D

F

1,4 m

10 m

0,25

C

E

10 m

0,25

C'3 m
N

D'
Q

8m

P

Để tính thể tích bể bơi, ta tính thể tích hình hộp chữ nhật
ABCD.A'B'C'D' và hình lăng trụ đứng EC'NM.FD'PQ có đáy là hình
thang vuông.
Thể tích hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' là:
(m3)
Thể tích hình lăng trụ đứng EC'NM.FD'PQ là:
(m3)

0,5
0,5

Thể tích bể bơi là:
(m3)
Đổi 534 m3 = 534 000 lít
Thời gian bể bơi được bơm đầy nước là:
(phút)
Vậy sau 17 giờ 48 phút thì bể được bơm đầy nước.

E

A

Q

M

Câu 4a
(2 đ)

H
B

I

Vì BE//CF nên
Chứng minh
Suy ra:
Chứng minh
Suy ra:
Vì

K

(hai góc so le trong)
(g.c.g)
(c.g.c)

và

Hay
Tương tự:

1

0,5
(c.g.c)
và

Do đó:
.
Hay ba điểm A, P, Q thẳng hàng.
Vì
và ba điểm A, P, Q thẳng hàng nên A là trung điểm của
PQ.
Gọi I là giao điểm của AM và BC.
Kẻ
.
Ta có:
Mà
Do đó:

1

và

Mà
Nên
Chứng minh
Suy ra:

C

Mặt khác:

Câu 4c
(2 đ)

0,5

D

P

Câu 4b
(2 đ)

0,5

.

0,5

0,5
0,5

0,75

0,75

Suy ra:
.
Dấu bằng xảy ra khi
,
và
Khi đó M là trực tâm của tam giác ABC.

.

0,5