BÀI TẬP TỈ LỆ THỨC- TÍNH CHẤT DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU

y+z+1 x+z+2 x+ y−3
1
x y y z
=
=
=
= ; =
x
y
z
x+ y+z
Bài 1: Tìm x, y, z biết a) 3 4 5 7 và 2x+3y–z = 186. b)
x y z
x y y z
= =
= ; =
c) 10 6 21 và 5x+y-2z=28 d) 3x=2y; 7x=5z, x-y+z=32 e) 3 4 3 5 và 2x -3 y + z =6.
x−1 y−2 z−4
x y z
2x 3 y 4z
=
=
= =
= =
3
4 và 2x+3y-z=50. i) 2 3 5 và xyz = 810.
g) 3 4 5 và x+y+z=49. h) 2
k) x: y= 3: 5 và 3x - y = 16

a
Bài 2: Cho b





2

c
5a  3b
5a  3b

d . Chứng minh rằng: 5c  3d
5c  3d

a
c


d
Lời giải: Có: b
5a  3b
Vậy: 5c  3d

x y y z
= ; =
l) x : y =4 :5 và x +y =164 n) 3 4 5 7 và 2x+3y–z = 186.
2

5a  3b
5c  3d

a
b


c
d

5a
3b
5a  3b
5a  3b



5c
3d
5c  3d
5c  3d

(Đpcm).

a
c
a 2  b2

d . Chứng minh: c 2  d 2
Bài 3. Cho b



a
c
a
b




d
c
d
Lời giải: Có: b
a 2  b2
ab

2
2
cd (Đpcm).:
Vậy: c  d
Bài 4. Tìm x, y, z , biết:
c)

a)

ab
cd .

a2
c2

b2
 2
d

ab
a 2  b2

 2 2
cd
c d

và 5x + y - 2z = 28; b) 3x = 2y, 7y = 5z, x - y + z = 32;
.4. d)

và x + y + z = 49;

e)
,
2x + 3y - z = 50; f)
HD a) Theo t/c của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

và xyz = 810.

x = 10.2 = 20, y = 6.2 = 12,
b) 3x = 2y
Suy ra:

, 7y = 5z
x = 20, y = 30, z = 42.

c) Ta có:
x = 27, y = 36, z = 60
d)

x = 18, y = 16, z = 15

z = 21.2 = 42.

F) Từ
Vậy x = 6, y = 9, z = 15
Bài 5: Cho tỉ lệ thức

. Chứng minh:

a)

;

b)

Bài 6: Tìm x biết:

2.a) x: 15
c)

= 8: 24

b) 36 : x

d) 1,56 : 2,88 = 2,6 : x

2,5 : 4x = 0,5 : 0,2

: 0,4 = x :

Bài tập 7. Tính1)
4)

= 54 : 3

; 2)
;

; 3)

;

5)

6)
8)

9)

7)
BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI
Bài 1: Số cây trồng của hai lớp 7A và 7B tỉ lệ với 9 và 11. Biết rằng số cây trồng của lớp 7B nhiều hơn của
lớp 7A là 22 cây. Tính số cây trồng của mỗi lớp.
Bài 2: Biết độ dài ba cạnh của một tam giác lần lượt tỉ lệ với 3; 5; 7 và chu vi của tam giác là 150cm. Hãy
tính độ dài mỗi cạnh tam giác đó.
Bài 3: Hưởng ứng phong trào kế hoạch nhỏ của Liên Đội, ba chi đội 7A, 7B, 7C đã thu được tổng cộng
120 kg giấy vụn. Biết rằng số giấy vụn thu được của ba chi đội lần lượt tỉ lệ với 9; 7; 8. Hãy tính số giấy
vụn mỗi chi đội thu được.
MỘT SỐ BAÌ TẬP ÁP DỤNG
Bài tập 1: Tìm x, y khác 0 biết: a) \f(x,y = \f(3,4 và 2x + 5y = 10 b) \f(2x,3y = - \f(1,3 và 2x
+ 3y = 7
c) 21.x = 19.y và x – y = 4 d) \f(x,3 = \f(y,7 và x.y = 84
Lời giải: a) Có \f(x,y = \f(3,4
 \f(x,3 = \f(y,4 = \f(2x,6 = \f(5y,20
áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: \f(2x,6 = \f(5y,20 = \f(2x+5y,6+20 = \f(10,26 = \f(5,13
Do đó: +) \f(x,3 = \f(5,13 suy ra x = \f(3.5,13 = \f(15,13
+) \f(y,4 = \f(5,13 suy ra y = \
f(4.5,13 = \f(20,13
Vậy: x = \f(15,13 và y = \f(20,13
b) Có \f(2x,3y = - \f(1,3
 \f(2x,-1 = \f(3y,3 Do đó: \f(2x,-1 = \f(3y,3 = \f(2x+3y,-1+3 = \f(7,2
Hay: +) \f(2x,-1 = \f(7,2 suy ra: 2x = \f(-1.7,2  x = - \f(7,4
+) \f(3y,3 = \f(7,2 suy ra: y = \f(7,2 Vậy: x = - \f(7,4 và y = \f(7,2
c) 21.x = 19. y  \f(x,19 = \f(y,21 Do đó: \f(x,19 = \f(y,21 = \f(x-y,19-21 = \f(4,-2 = -2
Hay: +) \f(x,19 = -2  x = -2.19 = -38 +) \f(y,21 = -2  y = -2.21 = -42 Vậy: x = - 38 và y = 42
d) \f(x,3 = \f(y,7  \f(x2,9 = \f(y2,49 = \f(xy,21 = \f(84,21 = 4
Hay: +) \f(x2,9 = 4  x2 = 36
 x=6

+) \f(y2,49 = 4  y2 = 196  y =  14 Vậy: x = 6 và y = 14 hoặc x = - 6 và y = -14
cách khác: Có \f(x,3 = \f(y,7  \f(x,y = \f(3,7
mà xy = 84 ( x và y cùng dấu) nên \f(x,y . xy = \f(3,7 . 84  x2 = 36  x =  6
và xy: \f(x,y = 84: \f(3,7
 y2 = 196  y = 14
Bài tập 2: Tìm x, y, z biết: a)
\f(x,3 = \f(y,4 ; \f(y,5 = \f(z,7 và 2x + 3y – z = 186
b) x : y : z = 3 : 5 (- 2) và 5x – y + 3z = 124 c) \f(y+z+1,x = \f(x+z+2,y = \f(x+y-3,z = \f(1,x+y+z
Lời giải: Có: \f(x,3 = \f(y,4  \f(x,15 = \f(y,20
\f(y,5 = \f(z,7  \f(y,20 = \f(z,28
Do đó: \f(x,15 = \f(y,20 = \f(z,28 = \f(2x,30 = \f(3y,60
= \f(2x+3y-z,30+60-28 = \f(168,62 = 3
Hay: +) \f(x,15 = 3  x = 3.15 = 45
+) \f(y,20 = 3 
y = 3.20 = 60
+) \f(z,28 = 3 
z = 3.28 = 84 Vậy: x = 45 ; y = 60 ; z = 84
b) Tương tự như câu a): Có x : y : z = 3 :5 : (- 2)  \f(x,3 = \f(y,5 = \f(z,-2
Do đó, ta có: \f(x,3 = \f(y,5 = \f(z,-2 = \f(5x,15 = \f(3z,-6 = \f(5x-y+3z, = \f(124,4 = 31
Hay: +) \f(x,3 = 31  x = 31.3 = 93
+) \f(y,5 = 31  y = 31.5 = 155
+) \f(z,-2 = 31  z = 31.(-2) = -62 Vậy: x = 93 ; y = 155 ; z = -62.
c): Có: \f(y+z+1,x = \f(x+z+2,y = \f(x+y-3,z = \f(1,x+y+z = \f(,x+y+z = 2
Suy ra: x+y+z = \f(1,2 . Khi đó: y+z = \f(1,2 - x ; x+z = \f(1,2 - y ; x+y = \f(1,2 - z
Do đó: +) \f(y+z+1,x = 2  \f(1,2\f(-x+1,x = 2  x = \f(1,2
+) \f(x+z+2,y = 2  \f(1,2\f(y+2,y = 2  y = \f(5,6
+) \f(x+y-3,z = 2  \f(1,2\f(-z-3,z = 2  z = - \f(5,6 Vậy: x = \f(1,2 ; y = \f(5,6 ; z
= - \f(5,6 .
Bài tập 3: Tìm các số x, y, z biết: \f(x-1,2 = \f(y+3,4 = \f(z-5,6 và 5z – 3x – 4y = 50
Lời giải: Có: \f(x-1,2 = \f(y+3,4 = \f(z-5,6 & 5z – 3x – 4y = 50
 \f(,6 = \f(,16 = \f(,30 & 5z – 3x – 4y = 50
 \f(3x-3,6 = \f(4y+12,16 = \f(5z-25,30 = \f(,30-6-16 = \f(50-34,8 = 2
Hay: +) \f(x-1,2 = 2 
x–1=4
 x=5
+) \f(y+3,4 = 2

y+3=8
 y=5
+) \f(z-5,6 = 2 
z – 5 = 12  z = 17
Vậy: x = y = 5 ; z = 17
Bài tập 4: Tìm a, b, c biết rằng: 2a = 3b = 4c và a – b + c = 35
Lời giải: Có: 2a = 3b = 4c  \f(2a,12 = \f(3b,12 = \f(4c,12 = \f(a,6 = \f(b,4 = \f(c,3 Khi đó: \f(a,6 = \
f(b,4 = \f(c,3 = \f(a–b+c,6–4+3 = \f(35,5 = 7
Hay: +) \f(a,6 = 7  a = 7.6 = 42 +) \f(b,4 = 7  b = 7.4 = 28 +) \f(c,3 = 7  c = 7.3 =
21
Vậy: a = 42 ; b = 28 ; c = 21
Bài tập 5: Tìm x biết: \f(44–x,3 = \f(x–12,5
Lời giải:Có: \f(44–x,3 = \f(x–12,5 = \f(,3+5 = \f(32,8 = 4
Hay: \f(x–12,5 = 4
 x – 12 = 20 x = 20 + 12  x = 32 Vậy: x = 32.
Bài tập 6: Tìm a, b biết rằng: a) \f(a,5 = \f(b,4 và a2 – b2 = 36
b) \f(a,3 = \f(b,4 và ab = 48
Lời giải: Có: \f(a,5 = \f(b,4 (a, b cùng dấu) Suy ra: \f(a2,25 = \f(b2,16 = \f(a2–b2,25–16 = \f(36,9 = 4
Hay: \f(a2,25 = 4
 a2 = 100

a =  10
\f(b2,16 = 4

b2 = 64

b= 8
Vậy: a = 10 và b = 8 hoặc a = - 10 và b = - 8.
b) Có: \f(a,3 = \f(b,4 Suy ra: \f(a2,9 = \f(b2,16 = \f(ab,3.4 = \f(48,12 = 4
Hay: \f(a2,9 = 4  a2 = 36  a =  6
\f(b2,16 = 4

b2 = 64

b= 8
Vậy: a = 6 và b = 8 hoặc a = - 6 và b = - 8.
Bài tập 7: Tìm x1, x2, x3, …, x9 biết rằng:
\f(x1–1,9 = \f(x2–2,8 = \f(x3–3,7 = … = \f(x9–9,1 và x1 + x2 + x3 + … + x9 = 90
Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\f(x1–1,9 = \f(x2–2,8 = \f(x3–3,7 = … = \f(x9–9,1 = \f(x1–1+x2–2+x3–3+…+x9–9,9+8+7+…+1 =
 x1  x2  ...  x9   1  2  ...  9 
9  8  ...  1

90  45
= 45
=1
+) \f(x1–1,9 = 1
 x1 = 9 + 1 = 10
+) \f(x2–2,8 = 1
 x2 = 8 + 2 = 10
+) \f(x3–3,7 = 1
 x3 = 7 + 3 = 10
………………
+) \f(x9–9,1 = 1
 x9 = 1 + 9 = 10
Vậy: x1 = x2 = x3 = … = x9 = 10.
Bài 9: Tìm x, y biết: a) \f(x,2 = \f(y,4 và x4 y4 = 16 b) \f(y2–x2,3 = \f(x2+y2,5 & x10 y10 = 1024
c) \f(2x+1,5 = \f(3y–2,7 = \f(2x+3y–1,6x
Lời giải:
a) Từ \f(x,2 = \f(y,4 suy ra: \f(x2,4 = \f(y2,16 = \f(xy,8 và x, y cùng dấu (1)
Với x4 y4 = 16  xy =  2 (2)
Kết hợp (1) và (2) ta có:
\f(x2,4 = \f(y2,16 = \f(xy,8 = \f(2,8 = \f(1,4
Hay: +) \f(x2,4 = \f(1,4  x2 = 1  x =  1
+) \f(y2,16 = \f(1,4  y2 = 4  y =  2
Vậy: x = 1 và y = 2 hoặc x = - 1 và y = - 2
b)
Có: \f(y2–x2,3 = \f(x2+y2,5 = \f(,5+3 = \f(,5–3
 \f(2y2,8 = \f(2x2,2  \f(y2,4 = x2 x =  \f(y,2
Khi đó: x10y10 = (± \f(y,2)10.y10 = 1024
 y20 = 210.1024  y20 = 220  y =  2
Do đó: x =  1
Vậy: x = 1 và y = 2
hoặc x = –1 và y = –2
hoặc x = 1 và y = –2
hoặc x = –1 và y = 2
c) \f(2x+1,5 = \f(3y–2,7 = \f(2x+3y–1,6x (1)
\f(2x+1,5 = \f(3y–2,7 = \f(2x+1+3y–2,5+7 = \
f(2x+3y–1,12 (2)
Từ (1), (2) ta có: 6x = 12  x = 2 thay vào (1) thì y = 3 Vậy: x = 2 và y = 3.
Bài 10 Tìm ba số x, y, z biết \f(x3,8 = \f(y3,64 = \f(z3,216 (1) và x2 + y2 + z2 = 14
 \f(x,2 = \f(y,4 = \f(z,6 Suy ra: \f(x2,4 = \f(y2,16 = \f(z2,36 = \f(x2+y2+z2,4+16+36 = \f(14,56 = \f(1,4
Hay: +) \f(x2,4 = \f(1,4
 x2 = 1  x =  1
+) \f(y2,16 = \f(1,4  y2 = 4  y =  2
+) \f(z2,36 = \f(1,4  z2 = 9  z =  3
Mà theo (1) thì x, y, z cùng dấu
Nên: x = 1; y = 2; z = 3 hoặc x = –1; y = –2; z = –3.
Bài tập tương tự:
Bài 1. Tìm các số a, b, c, d biết:
a) a : b : c : d = 15 : 7 : 3 : 1 và a – b + c – d
b) 2a = 3b ; 5b = 7c và 3a + 5c – 7b = 30
c) 3a = 4b & b – a = 5
Bài 2. Tìm x1, x2, …, xn–1, xn biết:
\f(x1,a1= \f(x2,a2 = …… = \f(xn–1,an–1 = \f(xn,an và x1+x2+ … +xn–1+xn = c
(Với a1, a2, … ,an–1, an khác 0 và a1+a2+ … +an–1+an ≠ 0)
Bài 3. Tìm a, b, c, d biết:
a) \f(a,3 = \f(b,5 = \f(c,7 = \f(d,9 & a + b + c + d = 12.
b) \f(a,3 = \f(b,4 = \f(c,5 & a – 2b + 3c = 35.
c) \f(a,5 = \f(b,6 ; \f(b,8 = \f(c,7 & a + b – c = 69.
d) \f(1,2 a = \f(2,3 b = \f(3,4 c & a – b = 15.
e) \f(a–1,2 = \f(b–2,3 = \f(c–3,4 & 2a + 3b – c = 95
Bài 4. Tìm x, y, z biết:
x y

a) 2 3 và xy = 54
x y

b) 5 3 ; x2 – y2 = 4 với x, y > 0

x y
y z


c) 2 3 ; 5 7 và x + y + z = 92
d) 2x = 3y = 5z và x + y – z = 95
x
y
z


x  y  z
e) y  z  1 x  z  1 x  y  2
y z
x 
2 3 và 4x – 3y + 2z 36
g)
x 1 y 2 z 3


3
4 và x – 2y + 3z = 14
h) 2
4
2
3


i) x  1 y  2 z  2 và xyz = 12
x2 y2

k) 9 16 và x2 + y2 = 100
x 2 x 3


l) y 3 ; z 5 và x2 + y2 + z2 = 217
x  16 y  25 z  9


9
16
25 và 2x3 – 1 = 1
m)
x y

n) 5 4 ; x2 – y2 = 81 với x, y > 0
x 2

p) y 3 và x2 + y2 = 208

Bài 5. Tìm x biết:
x 2 x4
x 3 5
x 1 x 2



a) x  1 x  7
b) x  5 7 c) x  2 x  3
x  18 x  17
72  x 3


d) x  4 x  16
e) x  18 5
Bài 6. Tìm a, b, c biết
a b c
a 1 b 2 c 2
 


3
2 và a + 2b – c = 6
a) 3 8 5 và 3a + b – 2c = 14
b) 5
a b c
a 1 b 2 c 3
 


3
4
c) 10 6 21 và 5a + b – 2c = 28 d) 2
và 2a + 3b – c = 50
12a  15b 20c  12a 15b  20c


7
9
11
e)
và a + b + c = 48
2a 3b 4c
a b c
 
 
4
5 và a + b +c = 49
f) 3
g) 2 3 5 và abc = 810
6
9
18
a b c
2
5
h) 11
và –a + b + c = –120
a b
b c

;

5 7 và 2a + 3b – c = 186
i) 3 4
a b
b c

;

3 5 và 2a – 3b + c = 6
k) 3 4
a 10
b 3

;

c 4 và a – b + c = 78
l) b 9

a 7
b 5

;

c 8 và 2a + 5b – 2c = 100
m) b 20
a 2
a 1

;

c 2 và a3 + b3 + c3 = 99
n) b 3
p) 3a = 2b ; 7b = 5c và a – b + c = 32
q) 5a = 8b = 20c và a – b – c = 3
Dạng: Tính giá trị biểu thức.
x y z
 
Bài 1: Cho x, y, z thoả mãn: 2 5 7 với x, y, z khác 0.
x yz
Tính: P = x  2 y  z

x y z
 
* Đặt 2 5 7 = k (k khác 0) thì x = 2k , y = 5k , z = 7k
2k  5k  7 k 4k 4
4
 
Khi đó: P = 2k  10k  7 k 5k 5 Vậy: P = 5
* Hoặc cách khác:
x y z x yz x yz
  

4
Ta có: 2 5 7 2  5  7
suy ra x – y + z = 2x
x 2y z x  2y  z x  2y  z
5x
  

5
Lại có: 2 10 7 2  10  7
suy ra x + 2y – z = 2
2x 4x 4
 
4
5x 5x 5
Do đó: P = 2
Vậy: P = 5
a
b
c
Bài 2: Cho 3 tỉ số bằng nhau b  c ; c  a ; a  b .
Tìm giá trị của mỗi tỉ số đó.
Với bài này các em dễ dàng tìm ra đáp án:
a bc
a
b
c
1
(
b

c
)

(
c

a
)

(
a

b
)
b c = c a = a b =
= 2
a b c
a b c
a
b
c

Hoặc Có: b  c = c  a = a  b = (b  c)  (c  a )  (a  b) 2(a  b  c)

(*)
a

b

c
a
b
c
1
(
b

c
)

(
c

a
)

(
a

b
)
+) Nếu a + b +c ≠ 0 thì b  c = c  a = a  b =
= 2
+) Nếu a + b +c = 0 thì b + c = –a ; c + a = –b ; a + b = –c.
a
a
b
b
c
c
 1
  1
  1
Khi đó: b  c =  a
; ca  b
; a b  c
a
b
c
c
 1
Hoặc: b  c = c  a = a  b =  c
a
b
c
1
Vậy: +) Nếu a + b +c ≠ 0 thì b  c = c  a = a  b = 2
a
b
c
+) Nếu a + b +c = 0 thì b  c = c  a = a  b =  1
x  y y  z z t t  x



z

t
t

x
x

y
yz
Bài 3: Cho biểu thức: P =

x
y
z
t
1 
1 
1 
1
z t  x
txy
xyz
Lời giải:Có: y  z  t
x  y  z t x  y  z t x  y  z t x  y  z t



y  z t
z t  x
tx y
xyz
Hay:

+) Nếu x + y + z + t ≠ 0 thì y + z + t = z + t + x = t + x + y = x + y + z
 x = y = z = t khi đó: P = 1 + 1 + 1 +1 = 4
+) Nếu x + y + z + t = 0 thì x + y = – (z + t) ;
y + z = – (z + t)
Khi đó: P = (– 1) + (– 1) + (– 1) +(– 1) = – 4
Vậy: +) P = 4 khi x + y + z + t ≠ 0
+) P = – 4 khi x + y + z + t = 0
Bài tập tương tự:
x  2 y  3z
Bài 1. Cho A = x  2 y  3 z . Tính A biết x, y, z tỉ lệ với 5, 4, 3.
Bài 2. Cho các số A, B, C tỉ lệ với a, b, c.
Ax  By  C
Tính giá trị biểu thức :
Q = ax  by  c

Bài 3. Cho 4 tỉ số bằng nhau:
a b c b c  d c  d  a d  a b
d
a
b
c
;
;
;
Tìm giá trị của mỗi tỉ số trên.
2a  b  c  d a  2b  c  d a  b  2c  d a  b  c  2d



a
b
c
d
Bài 4. Cho dãy:
a b b c c  d d a



c

d
d

a
a

b
bc
Tìm giá trị của biểu thức: M =
CÁC BÀI TOÁN CÓ LỜI GIẢI
a
Ví dụ 1. Tìm phân số b biết rằng nếu cộng thêm cùng một số khác 0 vào tử và vào mẫu của phân số thì
giá trị phân số đó không đổi.
Lời giải:
Theo bài: Nếu ta cộng thêm cùng một số x 0 vào tử và vào mẫu của phân số thì giá trị phân số không đổi .
a
ax
a
ax
ax a
x
a
Ta có: b = b  x  b = b  x = b  x  b = x = 1
Vậy: b = 1.
3
Ví dụ 2. Tìm hai phân số tối giản. Biết hiệu của chúng là: 196 và các tử tỉ lệ với 3; 5 và các mẫu tỉ lệ với
4; 7.
Lời giải:Gọi hai phân số tối giản cần tìm là: x, y.
3
3
Theo bài toán, ta có :
x:y= 4:
và x – y = 196 .
x 21
3
 y = 20
và x – y = 196

x
y
3
Hay : 21 = 20 và x – y = 196
áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
3
x
y
x y
3
196
21 = 20 = 21  20 = 1 = 196

x
3
3
9
+) 21 = 196  x = 196 .21 = 28 .
y
3
3
15
+) 20 = 196  y = 196 .20 = 49

9
15
Vậy: hai phân số tối giản cần tìm là: 28 và 49 .
Ví dụ 3. Tìm 1 số có 3 chữ số, biết rằng số đó chia hết cho 18 và các chữ số của nó tỉ lệ với 1; 2; 3.
Lời giải:
* Gọi 3 chữ số của số cần tìm là: a, b, c
(đ/k: a, b, c  N; 0 a, b, c 9 và a, b, c không đồng thời bằng 0)
Ta có 1 a+b+c 27.
Vì số cần tìm 18 = 2.9 mà (2;9)=1
Nên a+b+c có thể bằng 9; 18; 27
(1).
a b c a b c
Ta có: 1 = 2 = 3 = 1  2  3  a =
Vì a  N* nên a + b + c  6
(2).
Từ (1) và (2) suy ra: a + b + c = 18
a b c a b c
Khi đó: 1 = 2 = 3 = 1  2  3 =
=3
a
1 = 3  a = 3.1 = 3
+)
b
2 = 3  b = 3.2 = 6
+)
c
3 = 3  c = 3.3 = 9
+)
Mà số cần tìm 18 nên chữ số hàng đơn vị phải là chữ số 6 .
Vậy: số cần tìm là : 396 hoặc 936 .
1
2
Ví dụ 4.
Một cửa hàng có 3 tấm vải, dài tổng cộng 126m. Sau khi họ bán đi 2 tấm vải thứ nhất, 3 tấm
3
vải thứ hai và 4 tấm vải thứ ba, thì số vải còn lại ở ba tấm bằng nhau. Hãy tính chiều dài của ba tấm vải lúc
ban đầu .
Lời giải: Gọi số mét vải của ba tấm vải lần lượt là a, b, c (m)(a ,b, c > 0)
1
Số mét vải còn lại ở tấm thứ nhất: 2 a (m)
2
Số mét vải còn lại ở tấm thứ hai: 3 b (m)
3
Số mét vải còn lại ở tấm thứ ba: 4 c
(m)
1
1
1
Theo đề bài, ta có:
a + b + c = 126 và 2 a = 3 b = 4 c .
áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
a b c a  b  c 126
2 = 3 = 4 = 2  3  4 = 9 =14
a
b
c
+) 2 =14  a = 14.3 = 28
+) 3 =14  b = 14.3 = 42 +) 4 =14  c = 14.4 = 56

Vậy: chiều dài của mỗi tấm vải lúc đầu lần lượt là: 28m, 42m, 56m.
Ví dụ 5. Có ba tủ sách đựng tất cả 2250 cuốn sách. Nếu chuyển 100 cuốn từ tủ thứ nhất sang tủ thứ 3 thì
số sách ở tủ thứ 1, thứ 2, thứ 3 tỉ lệ với 16;15;14. Hỏi trước khi chuyển thì mỗi tủ có bao nhiêu cuốn sách ?
Lời giải:
*
* Gọi số quyển sách của tủ 1, tủ 2, tủ 3 lúc đầu là: a, b, c (quyển) (a, b, c  N và a, b, c < 2250). Thì sau
khi chuyển ,ta có:
Tủ 1: a –100 (quyển)
Tủ 2: b
(quyển)
Tủ 3: c + 100 (quyển)
a  100 b c  100
Theo đề bài ta có : 16 = 15 = 14
và a + b + c = 2250.
2250
45
a  100 b c  100 a  100  b  c  100

 16 = 15 = 14 =
16  15  14
=
=50
a  100
+) 16 =50  a –100 = 50.16  a = 800 + 100 = 900 (t/m)
b
+) 15 =50  b = 50.15 = 750 (t/m)
c  100
+) 14 =50  c + 100 = 50.14  c = 700 – 100 = 600
(t/m)
Vậy: Trước khi chuyển thì: Tủ 1 có : 900 quyển sách
Tủ 2 có : 750 quyển sách
Tủ 3 có : 600 quyển sách.
ˆ
Ví dụ 6. Cho tam giác ABC có Â và Bˆ tỉ lệ với 3 và 15, C = 4 Aˆ . Tính các góc của tam giác ABC.
Aˆ Bˆ
Cˆ Aˆ
4=1
Theo bài ta có 3 = 15 và
Aˆ Bˆ Cˆ
3 = 15 = 12 mà Â + Bˆ + Cˆ = 1800 (Tổng 3 góc trong một tam giác)
Hay :
Nên theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
Aˆ Bˆ Cˆ Aˆ  Bˆ  Cˆ 1800
Aˆ
0
0
0
0
3 = 15 = 12 = 3  15  12 = 30 = 6
+) 3 = 6  Â = 6 .3 = 18
Bˆ
Cˆ
0
0
0
0
0
0
ˆ
+) 15 = 6  Bˆ = 6 .15 = 90
+) 12 = 6  C = 6 .12 = 72
0
0
0
ˆ
Vậy các góc của tam giác ABC là : Â = 18 , Bˆ = 90 , C = 72 .
Ví dụ7. Một khu vườn hình chữ nhật có diện tích 300 m2, có hai cạnh tỉ lệ với 4 và 3. Tính chiều dài và
chiều rộng của khu vườn.
* Gọi chiều dài khu vườn là x và chiều rộng khu vườn là y.
(x > y > 0)
Theo đề bài: Hãy biểu diễn diện tích của vườn theo x, y và hai cạnh tỉ lệ với 4 & 3 được viết như thế nào
x
x.y=300 ; 4 =
Đến đây đã trở thành bài toán quen thuộc , dễ dàng tìm ra kết quả:
x = 20(m)
(t/m)
y = 15(m)
(t/m)
Vậy: chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật đó là 20m và 15m.
Ví dụ 8.
Một ô tô đi từ A  B mỗi giờ đi đươc 60,9 km. Hai giờ sau, một ô tô thứ hai cũng đi từ A 
B với vận tốc 40,6 km. Hỏi ô tô thứ nhất đi từ A  B mất mấy giờ. Biết rằng xe ô tô thứ hai đến muộn hơn
ô tô thứ nhất là 7 giờ.
Lời giải:*

Lời giải:* Gọi thời gian ô tô thứ 1 đi từ A  B là : x (h)
(Đ/k x>0)
ô tô thứ 2 xuất phát sau 2h nhưng lại tới B muộn hơn 7h nên thời gian ô tô thứ 2 đi từ A  B là :
x – 2 + 7 = x + 5 (h)
Vì cùng là quãng đường đi từ A  B nên ta có: 60,9.x = 40,6.(x + 5)
x
x 5
x
x 5
x 5 x
5
50
40, 6 = 60,9
 40, 6 = 60,9 = 60,9  40, 6 = 20,3 = 203

x
50
50
50 406
40, 6 = 203 

x = 203 .40,6 = 203 . 10 = 10 (t/m)

Vậy ô tô thứ nhất đi từ A B mất 10 giờ.
Ví dụ 9.
Ba xí nghiệp cùng xây dựng chung một cây cầu hết 38 triệu đồng. Xí nghiệp I có 40 xe ở cách
cầu 1,5 km, xí nghiệp II có 20 xe ở cách cầu 3 km, xí nghiệp III có 30 xe ở cách cầu 1 km. Hỏi mỗi xí
nghiệp phải trả cho việc xây dựng cầu bao nhiêu tiền, biết rằng số tiền phải trả tỉ lệ thuận với số xe và tỉ lệ
nghịch với khoảng cách từ xí nghiệp đến cầu?
Lời giải:
Gọi số tiền mỗi xí nghiệp I, II, III phải trả lần lượt là a, b, c (triệu đồng)
với 0 < a, b, c < 38.
40 20 30
:
 8 : 2 : 9
1
Theo bài ta có: a + b + c = 38 và a : b : c = 1,5 3

a b c a  b  c 38
  
 2
áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: 8 2 9 8  2  9 19
a
b
c
2  a 2.8 16
2  b 2.2 4
2  c 2.9 18
+) 8
(t/m) +) 2
(t/m) +) 9
(t/m)
Vậy: Mỗi xí nghiệp I, II, III theo thứ tự phải trả: 16 triệu đồng, 4 triệu đồng, 18 triệu đồng.
Ví dụ 10.
Một người dân Arập sinh được 3 người con trai, lúc lâm chung người cha nói rằng : “sau
1
1
1
khi ta mất đi, còn lại 17 con dê, cha dành 2 cho con cả, 3 cho con thứ và 9 cho con út. Các con chia thế
nào mà các con đê đều là dê sống, không được bán dê để chia tiền, cũng không được giết thịt để chia thịt.”
Sau khi người cha qua đời, các con tìm hết cách cũng không làm theo được lời trăn trối của cha. Em
hãy giúp các người con của ông cụ.
Lời giải:
Gọi số con dê mà 3 anh em họ được chia lần lượt là: a, b, c (con) (a, b, c  N* và a, b, c < 17)
a b c
a b c a  b  c 17
 
  
 18
1 1 1
1 1 1 1 1 1 17
 
Khi đó, theo bài ra ta có: 2 3 9 và a + b + c = 17 Suy ra: 2 3 9 2 3 9 18
a
1
b
1
18  a 18. 9
18  b 18. 6
1
1
2
3
+) 2
(t/m) +) 3
(t/m)
c
1
18  c 18. 2
1
9
+) 9
(t/m)