CHUYÊN ĐỀ 1: PT NGHIỆM NGUYÊN
Bài 1: Tìm các cặp số nguyên dương
thỏa mãn:
.
Giải
Ta có:




2x(y – 3) – 5(y – 3) = 33

(y – 3)(2x – 5) = 33 = 1.33 = 3.11
Ta xét các trường hợp sau :
*

*

*

*

Các cặp số nguyên dương đều thỏa mãn đẳng thức trên.
Vậy các cặp số cần tìm là: (3; 36); (4; 14); (8; 6); (19; 4)
Bài 2 :
a)Giải phương trình nghiệm nguyên:

b) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:

c) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: : xy+ 4y - 4x = 32
Giải
a,











b, Ta có: xy+ 4y - 4x = 32
( y(x+4)- 4(x+4)=16 ( (x +4)(y -4) = 16
Nêu được x + 4 là ước của 16 và x + 4> 4 => x + 4 ({8; 16}
x+ 4= 8 => x = 6 ; y = 6
x+ 4= 16=> x = 12 ; y = 5
Kết luận: (x; y) = (6; 6), (12; 5)
c,



lại có (y , y+1) = 1




=1
y = 0; y = -1 ( loại)


= 9
y = 2 , x = 54


= 81
y = 8 , x = 24
Vậy nghiệm của phương trình : ( x ; y) = ( 54 ; 2 ), ( 24 ; 8 )

* Chú ý: Đôi khi cần đặt phụ để giảm bớt các trường hợp phải xét
Bài 3: Tìm x, y nguyên biết:
a. 7x + 3y = 45 ( với x, y nguyên dương)
b. x4 - 2y4 – x2y2 – 4x2 -7y2 - 5 = 0;
c. 3x + 7y = 55 ( với x, y nguyên dương)
d. 3x + 7y = 167 ( với x, y nguyên dương)
Giải
a. 7x + 3y = 45( với x, y nguyên dương)
=> Tự giải
b. x4 - 2y4 – x2y2 – 4x2 -7y2 - 5 = 0;
Biến đổi đưa được pt về dạng: (x2 – 2y2 – 5)(x2 + y2 +1) = 0

x2 – 2y – 5 = 0
x2 = 2y2 + 5
x lẻ
Đặt x = 2k + 1 ; ( k
)
4k2 + 4k +1 = 2y2 + 5
2y2 = 4k2 + 4k – 4

y2 = 2(k2 + k – 1)
y chẵn
Đặt y = 2n; (n
)
4n2 = 2(k2 + k – 1)
2n2 + 1 = k(k + 1) (*)
Nhìn vào (*) ta có nhận xét: Vế trái nhận giá trị lẻ, vế phải nhận giá trị chẵn (Vì k và k + 1 là hai số nguyên liên tiếp)
(*) vô nghiệm
pt đã cho vô nghiệm
c. 3x + 7y = 55 ( với x, y nguyên dương)
=> Tự giải
d. 3x + 7y = 167 ( với x, y nguyên dương)
3x + 7y = 167
x =
=

đặt
= t
y = 3t – 1 Nên x = 58 – 7t (t
Z+)
Vì x; y nguyên dương nên 3t – 1 > 0
t >
và 58 – 7t > 0
t <

Vì t
Z n ên t


Các nghiệm nguyên dương của phương trình là : (51; 2), (44; 5), (37; 8), (30; 11), (23; 14), (16; 17), (9; 20), (2; 23)
Bài 4: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

Giải:
Ta có : (y+3+x)(y+3-x) = - 16
Để ý trong phương trình chỉ chứa ẩn số x với số mũ bằng 2 , do đó ta có thể hạn chế giải với x là số tự nhiên.
Khi đó: y+3+x
y+3-x .
Ta có ( y+3+x)+(y+3-x) = 2(y+3) là số chẵn
Suy ra 2 số ( y+3+x ) và (y+3-x) cùng tính chẵn lẻ . Ta lại có tích của chúng là số chẵn , vậy 2 số 2 số ( y+