NHIỆT LIỆT CHÀO MỪNG THẦY CÔ ĐẾN DỰ GIỜ
Giảng viên : Trần Mạnh Toàn
Áp dụng các luật lôgic vào phép chứng minh và giải toán
Tiết 27
A/Suy luận và chứng minh
1.Suy luận:
Suy luận là rút ra một mệnh đề mới từ một hay nhiều mệnh đề đã biết.
Những mệnh đề đã có gọi là tiền đề.
Một mệnh đề mới được rút ra gọi là kết luận của suy luận.

Hai kiểu suy luận thường gặp là:
Suy luận diễn dịch (hay còn gọi là suy diễn) và suy luận nghe có lí (hay suy luận có lí).
a) Suy luận diễn dịch: Là suy luận theo những quy tắc suy luận tổng quát (của lôgíc mệnh đề).
Trong suy luận diễn dịch, nếu các tiền đề đúng thì kết luận rút ra cũng phải đúng.
Trong lôgíc vị từ, ngoài những quy tắc suy luận của lôgíc mệnh đề ta thường gặp và vận dụng hai quy tắc suy luận dưới đây:






Có nghĩa là nếu p(x) đúng với
và thì p(a) là mệnh đề đúng.
Có nghĩa là :
Nếu P(x)  Q(x) đúng với mọi x X và P(a) đúng thì Q(a) cũng là mệnh đề đúng.
Ví dụ 1 :
Mọi số tự nhiên có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì nó chia hết cho 3.
Số 4323 có tổng các chữ số chia hết cho 3
Vậy 4323 chia hết cho 3.
Ví dụ 3 :
672 chia hết cho 3.
672 chia hết cho 4
Vậy 672 chia hết cho 3 và 4.
Ví dụ 2 :
Nếu tứ giác là hình thoi thì hai đường chéo của nó vuông góc với nhau.
Tứ giác ABCD là hình thoi. Vậy AC BD.
b) Suy luận nghe có lí:
Là suy luận không theo một quy tắc suy luận tổng quát nào.
Nó chỉ xuất phát từ những tiền đề đúng để rút ra một kết luận.
Kết luận này có thể đúng mà cũng có thể sai.
Trong toán học, hai kiểu suy luận nghe có lí thường sử dụng là : Phép quy nạp không hoàn toàn, phép tương tự.
Ví dụ 4 :
Từ các tiền đề :
4 + 3 = 3 + 4
12 + 48 = 48 + 12
243 + 328 = 328 + 243
Ta rút ra kết luận: Tổng của hai số tự nhiên không thay đổi khi ta thay đổi thứ tự của các số hạng trong tổng đó.
Đây là phép quy nạp không hoàn toàn. Trong phép suy luận này, các tiền đề đúng và kết luận rút ra cũng đúng
Ví dụ 5 :
Từ các tiền đề:
42 chia hết cho 3
72 chia hết cho 3
132 chia hết cho 3
Ta rút ra kết luận: Những số có chữ số hàng đơn vị bằng 2 thì nó chia hết cho 3.
Đây là phép quy nạp không hoàn toàn.
Trong phép suy luận này, xuất phát từ những tiền đề đúng mà kết luận rút ra lại sai.
2. Chứng minh
Trong suy luận diễn dịch, từ các tiền đề A, B ta rút ra kết luận C
Bằng cách vận dụng các quy tắc suy luận tổng quát. Ta gọi phép suy luận dạng này là suy luận hợp lôgíc
Vậy chứng minh một mệnh đề X là vạch rõ rằng X là kết luận lôgíc của các tiền đề đúng.
Trong toán học, nếu các tiền đề A, B của suy luận đều đúng (là những định nghĩa, tiền đề hoặc định lí đã được chứng minh trước đó) ta rút ra kết luận C
Thì ta nói C là một kết luận chứng minh, còn suy luận đó là một chứng minh.
Mỗi chứng minh toán học bao gồm một số hữu hạn bước, trong đó mỗi bước là một suy luận diễn dịch
Một phép chứng minh gồm ba phần:
1. Luận đề: là mệnh đề ta phải chứng minh.
2. Luận cứ: là những mệnh đề mà tính đúng đắn của nó đã được khẳng định (thường
là các định nghĩa, tiền đề hoặc định lí đã được chứng minh trước đó...) dùng làm tiền đề trong mỗi bước suy luận
3 Luận chứng: là những quy tắc suy luận tổng quát được sử dụng trong mỗi bước suy luận của chứng minh đó.
Như vậy chứng minh từ tiền đề A dẫn đến kết luận B (A  B) là:
Thiết lập một dãy các bước suy luận diễn dịch
Ví dụ 6 :Mỗi suy luận trong các ví dụ 1- 4 là một chứng minh
(vì các tiền đề trong mỗi suy luận đều đúng)
Xét các suy luận sau: Từ hai tiền đề:
+ Với mọi a, b R, nếu thì a = b
+
Rút ra kết luận 5 = -5
kết luận rút ra đều sai (vì tiền đề 1 của suy luận thứ nhất)
3. Các phương pháp chứng minh toán học thường gặp
a) Phương pháp chứng minh trực tiếp

Cơ sở của phương pháp chứng minh trực tiếp là quy tắc suy luận bắc cầu.
Vậy chúng là suy luận hợp lôgíc.
Nhưng không phải là một chứng minh.
Khi chứng minh từ tiền đề A đến kết luận B bằng phương pháp chứng minh trực
tiếp, ta tiến hành theo sơ đồ sau:
A  A1
A1 A2
..............
An1 An
An  B.
Ví dụ 7:
ở phổ thông, trong các chứng minh toán học người ta thường bỏ đi nhiều tiền đề trong mỗi bước suy luận. Vì vậy chứng minh được thực hiện theo sơ đồ thu gọn:
A A1 A2 ... An – 1 An  B.
b) Phương pháp chứng minh phản chứng
Trong trường hợp tổng quát, muốn chứng minh từ tiền đề A dẫn đến kết luận B bằng phương pháp phản chứng ta tiến hành theo sơ đồ sau:
Giả sử A đúng mà B sai (G (A ^ ) = 1)
áp dụng quy tắc suy luận:


Ta rút ra kết luận A  B là đúng.
Ví dụ 8 : Chứng minh rằng phương trình bậc nhất: ax + b = 0 (1) a 0
có không quá một nghiệm.
Giả sử phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 và x2. Theo định nghĩa ta có:
ax1 + b = 0
và ax2 + b = 0 áp dụng tính chất bắc cầu ta có: ax1 + b = ax2 + b
Áp dụng luật giảm ước đối với phép cộng ta có:ax1 = ax2
áp dụng luật giảm ước đối với phép nhân ta có: x1 = x2. Như vậy x1 vừa khác lại vừa bằng x2. Điều này trái với luật mâu thuẫn. Vậy ta có điều phải chứng minh.








c) Phương pháp chứng minh quy nạp hoàn toàn
Giả sử tập hữu hạn X = {a1, a2, ... , an}
và T(x) là hàm mệnh đề xác định trong tập X.
Ta phải chứng minh mệnh đề:
T(x) là đúng bằng phương pháp quy nạp hoàn toàn. Ta cần chứng tỏ rằng:
T(a1), T(a2), ..., T(an) đều là những mệnh đề đúng. Từ đó kết luận mệnh đề trên là đúng. Ví dụ 9 :
d)Phương pháp chứng minh quy nạp toán học

Để chứng minh tính chất T(n) đúng với mọi số tự nhiên ta làm như sau:
Bước 1: Trước hết chứng minh
G(T(0))=1 (nghĩa là T(0) đúng khi n = 0)
Bước 2: Giả sử T(n) đúng với n = k nào đó
(tức là G(T(k)) =1).Ta chứng minh G(T(k+1))
Hay tính chất T(n) cũng đúng với n = K+1
Ví dụ 10:
Bài tập
XIN CHÂN THÀNH CẢM ƠN QUÝ THẦY CÔ